CFA L1  /  Quant  /  M5. Portfolio Mathematics
Module 5 · Quantitative Methods

Portfolio Mathematics

EN: Expected return and variance of a portfolio, the role of correlation, and Roy's safety-first criterion.
VN: Lợi suất kỳ vọng và phương sai danh mục, vai trò của tương quan, và tiêu chí Roy.

In this module
  1. Expected Return (Lợi nhuận kỳ vọng)
  2. Covariance (Hiệp phương sai)
  3. Correlation (Hệ số tương quan)
  4. Portfolio Variance (Phương sai danh mục)
  5. Standard Deviation (Độ lệch chuẩn)
  6. Roy's Safety-First Ratio
  7. Shortfall Risk (Normal)

1. Expected Return (Lợi nhuận kỳ vọng) Core

Lợi nhuận kỳ vọng là thước đo dùng để đánh giá khả năng sinh lời tiềm năng của các cơ hội đầu tư. Trên danh mục, nó là trung bình có trọng số của lợi nhuận kỳ vọng từng tài sản.

\[ E(R_p) = w_1 E(R_1) + w_2 E(R_2) + \cdots + w_n E(R_n) = \sum_{i=1}^{n} w_i\,E(R_i),\quad \sum w_i = 1 \]
Practice problem

60% vào cổ phiếu (E(R) = 10%), 40% vào trái phiếu (E(R) = 4%). Tính E(Rₚ).

Show solution
\(E(R_p) = 0.60(10) + 0.40(4)\)
= 6 + 1.6 = 7.6%

2. Covariance (Hiệp phương sai) Core

Hiệp phương sai là thước đo xu hướng di chuyển cùng chiều của hai tài sản — là giá trị kỳ vọng của tích giữa chênh lệch của lợi suất hai tài sản so với giá trị kỳ vọng tương ứng của chúng.

\[ \text{Cov}(R_i, R_j) = E\big[(R_i - E(R_i))(R_j - E(R_j))\big] \]

Ma trận hiệp phương sai: ma trận biểu thị hiệp phương sai giữa lợi nhuận của một nhóm các tài sản. Đường chéo chính là phương sai từng tài sản: \(\text{Cov}(R_i, R_i) = \sigma_i^{2}\).

3. Correlation (Hệ số tương quan) Core

Hệ số tương quan là thước đo mối quan hệ tuyến tính giữa hai tài sản. Đây là dạng "chuẩn hóa" của covariance — bị chặn trong khoảng [−1, 1], không phụ thuộc đơn vị nên dễ diễn giải hơn.

\[ \text{Corr}(R_i, R_j) = \rho_{i,j} = \frac{\text{Cov}(R_i, R_j)}{\sigma(R_i)\,\sigma(R_j)} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{Cov}(R_i, R_j) = \rho_{i,j}\,\sigma_i\,\sigma_j \]

Ma trận hệ số tương quan: ma trận thể hiện mối tương quan giữa lợi nhuận trên một nhóm các tài sản.

Practice problem

ρXY = −0.3, σX = 12%, σY = 18%. Tính Cov(X, Y).

Show solution
Cov = −0.3 × 0.12 × 0.18
= −0.00648

4. Portfolio Variance (Phương sai danh mục) Core

Phương sai danh mục KHÔNG phải trung bình có trọng số của phương sai từng tài sản — nó phụ thuộc vào covariance (đã định nghĩa ở mục 2). Đây là nền tảng của lý thuyết danh mục hiện đại (MPT).

\[ \text{Var}(R_p) = \sigma_p^{2} = \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N} w_i\,w_j\,\text{Cov}(R_i, R_j) \]

Trường hợp hai tài sản (dùng \(\text{Cov} = \rho_{1,2}\sigma_1\sigma_2\) từ mục 3):

\[ \sigma_p^{2} = w_A^{2}\sigma_A^{2} + w_B^{2}\sigma_B^{2} + 2\,w_A w_B\,\sigma_A\,\sigma_B\,\rho_{AB} \]

Hoặc viết theo \(\text{Var}\) (thay \(\sigma = \sqrt{\text{Var}}\)):

\[ \sigma_p^{2} = w_A^{2}\,\text{Var}(R_A) + w_B^{2}\,\text{Var}(R_B) + 2\,w_A w_B\,\rho_{AB}\,\sqrt{\text{Var}(R_A)}\,\sqrt{\text{Var}(R_B)} \]

Ý nghĩa liên quan đến rủi ro của danh mục

Practice problem

w₁ = 0.5, σ₁ = 20%; w₂ = 0.5, σ₂ = 10%; ρ = 0.3. Tính độ lệch chuẩn danh mục.

Show solution
\(\sigma_p^{2} = 0.25(400) + 0.25(100) + 2(0.5)(0.5)(0.3)(20)(10)\)
\(= 100 + 25 + 30 = 155\)
σₚ ≈ 12.45%

5. Standard Deviation (Độ lệch chuẩn) Core

Độ lệch chuẩn danh mục là căn bậc hai của phương sai (mục 4). Cùng đơn vị với lợi suất nên trực quan hơn khi dùng để đo rủi ro.

\[ \sigma(R_p) = \sqrt{\sigma_p^{2}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N} w_i\,w_j\,\text{Cov}(R_i, R_j)} \]

6. Roy's Safety-First Ratio (SFR) Core

Tiêu chí an toàn của Roy chọn danh mục giảm thiểu xác suất rơi dưới ngưỡng tối thiểu \(R_L\). Giống Sharpe nhưng dùng "lợi suất tối thiểu chấp nhận được" thay vì \(R_f\). Danh mục có SFR cao nhất là lựa chọn tốt nhất.

\[ SFR = \frac{E(R_p) - R_L}{\sigma_p} \]
Practice problem

Danh mục A: E(R) = 10%, σ = 12%. Danh mục B: E(R) = 8%, σ = 7%. Ngưỡng R_L = 3%. Chọn danh mục nào theo tiêu chí Roy?

Show solution
SFR(A) = (10 − 3)/12 ≈ 0.583
SFR(B) = (8 − 3)/7 ≈ 0.714
Chọn B — SFR cao hơn → xác suất rơi dưới R_L thấp hơn

7. Shortfall Risk under Normality Core

Khi lợi suất phân phối chuẩn, xác suất rơi dưới \(R_L\) bằng \(N(-SFR)\) — tra bảng Z là ra ngay.

\[ P(R_p < R_L) = N(-SFR) \]
Practice problem

SFR = 1.65. Tính xác suất shortfall (giả định phân phối chuẩn).

Show solution
\(P = N(-1.65)\)
≈ 5%