Cả M8–M9 chỉ là một bộ xương: test statistic = (estimate − hypothesized) ÷ SE, rồi so với critical value. Mất điểm gần như luôn ở: chọn sai test, nhầm tail, "accept H₀", và df của Pearson.
M8 · 8.a–g z · t · χ² · F · Type I/II · p-valueM9 · 9.a–b Pearson · Spearman · χ² independenceNối M7 bảng z/t (σ known → z, σ unknown → t)
MODULE 8 · Hypothesis Testing
8.0 · 4 Test Distributions — z · t · χ² · F
Dùng để
Chọn ĐÚNG test statistic ngay từ đầu. Chọn sai distribution ⇒ chọn sai critical value ⇒ sai kết luận, dù bấm máy chính xác. Đây là câu hỏi đầu tiên khi đối diện bất kỳ bài hypothesis test nào: "Tôi đang test cái gì? Biết gì? ⇒ dùng distribution nào?"
Tiêu chí
z
t
Chi-square (χ²)
F
Dùng khi
Test MEAN khi σ đã biết, hoặc n lớn
Test MEAN khi σ chưa biết (dùng s), n bất kỳ (data ≈ normal)
Test VARIANCE của 1 population, hoặc independence của categorical vars
So sánh VARIANCE của 2 populations
H₀ điển hình
μ = μ₀
μ = μ₀
σ² = σ₀² | 2 vars independent
σ₁² = σ₂²
Công thức
z = (X̄ − μ₀)/(σ/√n)
t = (X̄ − μ₀)/(s/√n)
χ² = (n−1)s²/σ₀² χ² = Σ(O−E)²/E
F = s₁²/s₂² (variance lớn ở tử)
Degrees of freedom
Không có (chuẩn)
df = n − 1
df = n − 1 (single var) df = (r−1)(c−1) (indep)
df₁ = n₁−1, df₂ = n₂−1
Hình dạng
Đối xứng, chuông chuẩn, μ=0, σ=1
Đối xứng, giống z nhưng đuôi dày hơn. df tăng ⇒ tiến về z
Bất đối xứng, lệch phải, không âm (≥ 0). df tăng ⇒ đối xứng dần
Bất đối xứng, lệch phải, không âm (≥ 0). Có 2 df
Range
(−∞, +∞)
(−∞, +∞)
[0, +∞)
[0, +∞)
Tail
1 hoặc 2 (tuỳ Hₐ)
1 hoặc 2 (tuỳ Hₐ)
LUÔN right-tailed (indep test); 2 phía nếu single var
Thường right-tailed (variance lớn / nhỏ)
Crit @ 5% (2-tail)
±1.96
tra bảng theo df
tra bảng — không đối xứng
tra bảng theo (df₁, df₂)
Ví dụ thực tế
"σ dân số return biết = 10%, mean có = 8%?"
"Mean return fund có ≠ 1%/tháng?" (CFA gần như luôn dùng)
"Volatility fund có ≤ 15%?" hoặc "Ngành ↔ default có độc lập?"
"Fund A có variance CAO hơn Fund B?"
Dùng ở section
8.5
8.5 · 8.6 · 9.1 · 9.2
8.7 · 9.3
8.7
Chart minh hoạ — so sánh 4 hình dạng phân phối
z · Standard Normal
Đối xứng · chuông chuẩn · μ=0, σ=1
Range (−∞,+∞) · CRT-2 tail 5% = ±1.96 · dùng khi σ known.
t · Student's t
Đối xứng · đuôi DÀY hơn z · df ↑ ⇒ về z
Range (−∞,+∞) · df = n−1 · crit lớn hơn z ⇒ khó reject hơn (thận trọng hơn).
χ² · Chi-square
Bất đối xứng · lệch phải · ≥ 0
Range [0,+∞) · LUÔN right-tailed (indep) · df = n−1 hoặc (r−1)(c−1).
F · F-distribution
Bất đối xứng · lệch phải · ≥ 0 · 2 df
Range [0,+∞) · nếu σ₁²=σ₂² ⇒ F=1 · variance lớn ở tử để F ≥ 1.
Cây quyết định — chọn distribution trong 5 giây
Test MEAN? → σ known/n lớn ⇒ z; σ unknown ⇒ t (df = n−1). Trong CFA gần như luôn là t.
Test VARIANCE 1 population? → χ² (df = n−1).
Test VARIANCE 2 population? → F (df₁, df₂).
Test 2 categorical vars có INDEPENDENT không? → χ² (df = (r−1)(c−1)) · luôn right-tailed.
Test CORRELATION (2 định lượng)? → t (df = n−2, Pearson) hoặc Spearman (nonparametric).
Bẫy phổ biến khi chọn distribution
Dùng z khi σ unknown ⇒ SAI. Sample s ≠ population σ ⇒ phải dùng t.
Nhớ df cho Pearson correlation là n−1 ⇒ SAI. Đúng là n−2 (mất 2 dof do fit slope/intercept).
χ² có thể âm ⇒ SAI. χ² là tổng bình phương ⇒ luôn ≥ 0.
F-test two-tailed ⇒ CFA thường right-tailed bằng cách đặt variance lớn ở tử ⇒ F ≥ 1.
χ² lớn = evidence chống H₀ independence ⇒ ĐÚNG. χ² càng lớn ⇒ observed cách xa expected ⇒ càng "không độc lập".
8.1 · Bản chất & 6 bước — chỉ reject / do not reject
Dùng để
Đưa ra kết luận có cơ sở thống kê về population khi ta chỉ có sample. Ví dụ thực tế: "Fund manager có thật sự beat market không, hay chỉ do may mắn?" — thay vì đoán, ta thiết lập 6 bước chuẩn để trả lời reject hay không reject giả thuyết.
Bản chất: dùng sample kiểm tra statement về population. Chỉ có 2 kết luận: Reject H₀ hoặc Do not reject H₀. H₀ chứa dấu =; Hₐ là điều analyst muốn chứng minh.
Bước
Nội dung
1
State hypotheses (H₀, Hₐ)
2
Identify test statistic (z / t / χ² / F)
3
Specify significance level α
4
State decision rule (critical value)
5
Calculate test statistic
6
Make a decision
Lừa
"Accept H₀" → SAI. Không bao giờ dùng — chỉ fail to reject. Sample không đủ chứng minh H₀ đúng tuyệt đối.
"Failure to reject means H₀ is true" → SAI. Chỉ là chưa đủ evidence để bác.
"Rejecting H₀ proves Hₐ with certainty" → SAI. Chỉ là evidence, không phải chứng minh.
8.2 · One-tailed vs Two-tailed — đọc từ chữ trong Hₐ
Dùng để
Xác định vùng bác bỏ nằm ở đâu trên phân phối — một đuôi hay hai đuôi. Đọc kỹ đề: "different from" (2 đuôi) khác với "greater than / less than" (1 đuôi). Chọn sai tail ⇒ sai critical value ⇒ sai kết luận, dù test statistic tính đúng.
Đề nói
Hₐ
Tail
z-crit @ 5%
different from
μ ≠ μ₀
Two-tailed
±1.96 (2.5% mỗi đuôi)
greater than
μ > μ₀
Right-tailed
+1.645
less than
μ < μ₀
Left-tailed
−1.645
Lừa · critical value
Two-tailed 5% đặt 2.5% mỗi đuôi (±1.96), KHÔNG phải 5% mỗi đuôi. One-tailed 5% mới dùng cả 5% một phía → ±1.645. Nhầm là sai crit ngay.
8.3 · Type I / Type II & Power — Power = 1 − β
Dùng để
Đánh giá "rủi ro sai lầm" của một quyết định thống kê. Type I = báo động giả (kết luận có effect trong khi không có); Type II = bỏ sót (có effect mà không phát hiện). Trong finance: Type I ⇒ mua stock/fund không thật sự alpha; Type II ⇒ bỏ qua manager giỏi. Power đo khả năng phát hiện đúng khi effect thật sự tồn tại.
"Lowering α also lowers Type II" → SAI. Hạ α ⇒ β TĂNG ⇒ Power giảm (trade-off).
8.4 · P-value + Statistical vs Economic
Dùng để
Ra quyết định reject/không reject mà không cần tra bảng critical value — chỉ so p-value với α. Đồng thời cảnh báo: "significant" trên bảng thống kê chưa chắc "có tiền để kiếm" ngoài thị trường khi tính đến chi phí giao dịch, thuế, spread.
P-value
Xác suất (giả sử H₀ đúng) quan sát được kết quả ít nhất extreme như sample. P-value nhỏ hơn ⇒ evidence chống H₀ mạnh hơn.
p < α ⇒ Reject H₀ · p > α ⇒ Do not reject H₀
Ví dụ: p = 0.03
α = 0.05 → 0.03 < 0.05 → Reject
α = 0.01 → 0.03 > 0.01 → Do not reject
Lừa · statistical ≠ economic
Result có thể statistically significant nhưng economically meaningless. VD excess return 0.02%, p=0.001 nhưng cost 0.10% → không kiếm được tiền. Statistical significance KHÔNG đảm bảo economic significance.
8.5 · Test of a Single Mean — z hay t?
Dùng để
Kiểm tra 1 con số trung bình có bằng/khác một giá trị mục tiêu không. VD: "Fund có mean monthly return ≠ 1% không?", "Average customer wait ≤ 5 phút không?". Câu hỏi tiếp theo là chọn z (biết σ dân số) hay t (không biết σ, dùng s từ sample — CFA gần như luôn dùng t).
z = (X̄ − μ₀) / (σ/√n)σ known
t = (X̄ − μ₀) / (s/√n)σ unknown · df = n−1
Nối M7 · bảng z/t
σ known → z. σ unknown (đề cho sample s) → t, df = n−1.
Non-normal + small n → không test được (CLT chưa đủ).
Đọc: sample cách hypothesized value bao nhiêu standard errors. CFA mặc định σ unknown ⇒ nghĩ tới t.
8.6 · Difference in Means vs Mean of Differences — gài nhiều nhất
Dùng để
So sánh trung bình của 2 nhóm — nhưng phải chọn đúng công thức tùy vào cấu trúc dữ liệu. Independent (US stocks vs Japan stocks) dùng difference in means. Dependent / paired (cùng nhóm manager trước vs sau training, forecast vs actual) dùng mean of differences. Đây là chỗ CFA gài nhiều nhất — nhận sai loại dữ liệu ⇒ sai test.
Independent → difference in means
Dependent → mean of differences
Bản chất
Hai sample độc lập, đối tượng khác nhau
Ghép cặp CÙNG đối tượng (before/after)
Ví dụ
Returns US stocks vs Japan stocks
20 managers trước vs sau training
H₀ · test
μ₁−μ₂=0 · two-sample t
dᵢ=X₁ᵢ−X₂ᵢ · μ_d=0 · paired t
Lừa
Cùng nhóm đo hai lần (before/after, forecast/actual, blood pressure trước/sau) → paired. Dùng "difference in independent means" cho data ghép cặp là SAI. Keyword: "same subjects".
8.7 · Tests of Variance — χ² & F
Dùng để
Test về "độ biến động" (rủi ro), không phải "trung bình". χ² kiểm tra 1 variance có bằng target không (VD: "volatility của fund có ≤ 15% không?"). F-test so sánh rủi ro của 2 portfolios (VD: "Fund A có variance cao hơn Fund B không?"). Cực kỳ quan trọng trong risk management.
Single variance → Chi-square
χ² = (n−1)s² / σ₀²
H₀: σ² = σ₀² · df = n−1 · χ² không âm, lệch phải.
Two variances → F-test
F = s₁² / s₂²
H₀: σ₁²=σ₂² · variance lớn ở tử (F≥1) · df₁=n₁−1, df₂=n₂−1.
8.8 · Parametric vs Nonparametric
Dùng để
Chọn đúng "họ test" khi giả định phân phối bị vi phạm. Parametric mạnh hơn NHƯNG đòi hỏi data normal + biết parameter. Khi data lệch, có outliers, hoặc chỉ là ranks (thứ hạng) — chuyển sang nonparametric để kết luận vẫn tin cậy được.
Parametric
Nonparametric
Test parameter (mean, variance, correlation)
Không nhất thiết test parameter
Có distribution assumptions · powerful hơn nếu đúng
Ít assumptions · robust khi assumptions sai
Dùng nonparametric khi: data không meet assumptions · có outliers · data là ranks/ordinal. (Spearman là ví dụ.)
MODULE 9 · Parametric & Nonparametric Tests of Independence
9.1 · Pearson Correlation Test — df = n − 2
Dùng để
Kiểm tra 2 biến định lượng có mối quan hệ tuyến tính không — VD: "Return của stock có tương quan với growth của GDP không?", "Lợi suất bond có gắn với lạm phát không?". Kết quả reject H₀ ⇒ có quan hệ, không chứng minh nhân quả.
Test ρ = 0
Kiểm tra population correlation ρ có khác 0 không, dùng t-test df = n − 2. Pearson đo linear association, dùng raw values.
Pearson = 0 không chứng minh independence — có thể nonlinear dependence.
9.2 · Spearman Rank Correlation — nonparametric
Dùng để
Đo mối quan hệ khi data KHÔNG normal hoặc là ranks/thứ hạng. VD điển hình: "ESG rating (thứ hạng 1–5) có tương quan với return không?", "Rating tín dụng vs default rate?". Robust hơn Pearson với outliers, và bắt được cả quan hệ monotonic phi tuyến (chỉ cần "cùng chiều", không cần thẳng).
Câu nối keyword — khi nào Spearman
Dùng Spearman khi population departs from normality, data là ranks, có outliers, hoặc quan hệ monotonic nhưng không nhất thiết linear. Đây là test nonparametric tính từ ranks chứ không phải raw values.
rₛ = 1 − 6·Σdᵢ² / [n(n²−1)]dᵢ = chênh lệch 2 rank · test tiếp: t với df = n−2
9.3 · Chi-square Test of Independence — luôn right-tailed
Dùng để
Kiểm tra 2 biến định tính (categorical) có độc lập không. VD: "Mức leverage (High/Low) có liên hệ với việc công ty default không?", "Ngành nghề có gắn với xu hướng chia cổ tức không?", "Giới tính khách hàng có ảnh hưởng chọn gói bảo hiểm không?". Đây là công cụ chính để phân tích bảng chéo (contingency table).
Bản chất: 2 categorical variables trong contingency table. H₀: hai đặc tính independent. χ² càng lớn càng chống independence ⇒ luôn right-tailed.
Test luôn right-tailed, không two-tailed. χ² lớn → chống independence. χ² không âm.
Câu nối keyword — khung chung mọi test
Mọi hypothesis test đều là test statistic = (sample estimate − hypothesized value) ÷ standard error, đo sample cách H₀ bao nhiêu standard errors, rồi so với critical value từ z / t / χ² / F. Chọn distribution nào phụ thuộc tham số được test và assumptions: mean với σ unknown → t, variance → chi-square hoặc F, correlation → t với df = n−2, categorical independence → chi-square right-tailed.