M4 cho bộ luật xác suất; M5 dùng chúng để tính return và risk của portfolio. Điểm mất điểm gần như luôn nằm ở: mutually exclusive vs exhaustive, chiều của Bayes, bình phương weights, và hiểu sai positive covariance.
"A random variable is a specific possible value" → SAI. Đó là outcome. Random variable là đại lượng chưa biết trước.
"An event must consist of only one outcome" → SAI ở chữ only one. Event có thể gồm nhiều outcomes.
"Probability can exceed 1 if very likely" → SAI. Luôn 0 ≤ P ≤ 1.
Mutually exclusive vs Exhaustive — cặp gài nhiều nhất M4
Mutually exclusive
Exhaustive
Nghĩa
Không thể cùng xảy ra
Bao phủ toàn bộ outcomes
Điều kiện
P(A∩B) = 0
ΣP(Sᵢ) phủ hết sample space
Ví dụ
Bond xếp AAA vs BB — không thể vừa AAA vừa BB
R>0, R=0, R<0 — phủ hết tăng/không đổi/giảm
Chỉ khi vừa mutually exclusive VỪA exhaustive thì ΣP(Eᵢ) = 1
Ba trạng thái có thể xảy ra — đừng đánh đồng
ME nhưng KHÔNG exhaustive: không cùng lúc, nhưng chưa phủ hết.
Đời sống: Hôm nay tôi uống cà phê Highlands hoặc uống cà phê Phúc Long. Hai cái không thể cùng một cốc (ME). Nhưng còn Starbucks, tự pha, không uống cà phê — chưa phủ hết → không exhaustive. Xác suất cộng lại < 1. Đầu tư: "cổ phiếu tăng > 5%" hoặc "giảm > 5%" — bỏ sót các mức tăng nhỏ, giảm nhỏ, không đổi.
Exhaustive nhưng KHÔNG ME: phủ hết nhưng vẫn overlap.
Đời sống: Ba event: "người biết tiếng Anh", "người biết lái xe", "người biết nấu ăn". Trong một lớp học, ba nhóm này phủ hết mọi người (ai cũng biết ít nhất một cái) → exhaustive. Nhưng một bạn có thể biết cả ba → không mutually exclusive. Cộng xác suất lại có khi > 1 vì đếm trùng. Đầu tư: "cổ phiếu có P/E < 15" và "cổ phiếu có dividend yield > 3%" — một cổ phiếu có thể vừa thoả cả hai.
"Mutually exclusive events must have probabilities summing to 1" → SAI ở chữ must. Chỉ đúng nếu còn phải exhaustive.
Đời sống: Trời hôm nay hoặc nắng hoặc mưa to. Hai cái này ME. Nhưng còn mưa phùn, âm u, tuyết… nên P(nắng) + P(mưa to) < 1. Chỉ khi thêm "các trạng thái khác" cho phủ hết thì tổng mới bằng 1.
"Exhaustive events cannot occur together" → SAI. Exhaustive chỉ nói phủ hết, vẫn có thể overlap.
Đời sống: Trong một quán ăn, nhóm khách "gọi cơm" và "uống nước" phủ hết bàn nào cũng có ít nhất một cái (exhaustive). Nhưng nhiều bàn vừa gọi cơm vừa uống nước cùng lúc → overlap, không phải ME.
Ba loại probability — nhận diện bằng keyword
Loại
Nguồn
Keyword trong đề
Subjective
Personal judgment
"believes", "estimates", "expert opinion"
Empirical
Historical data / frequency
"past data", "150 of 250 days", "observed"
A priori
Logic, equally likely outcomes
"fair coin", "equally likely", "3 of 10 stocks"
Cùng câu hỏi "P(bond default)":
Analyst judgment ⇒ 8% (subjective) · 40/1,000 bonds đã default ⇒ 4% (empirical) · model 20 equally likely states, 1 default ⇒ 5% (a priori)
4.2 · Expected Value & Variance — probability-weighted
E(X) = Σ Pi XiMỗi outcome × xác suất của nó, rồi cộng
σ² = Σ Pi [Xi − E(X)]²Probability-weighted squared deviation
Stock A: strong 30%→20% · normal 50%→8% · recession 20%→−10%
σ² = 43.2 + 0 + 64.8 = 108 · σ = √108 ≈ 10.39% Ba số 12, 0, −18 trong công thức chính là cột "Ri − E(R)" — độ lệch của return so với mean 8%, không phải return gốc.
Bản chất
E(R) = 8% không có nghĩa stock chắc chắn kiếm 8%. Nó là giá trị trung bình nếu tình huống được lặp lại rất nhiều lần.
4.3 · Probability Tree & Conditional Expected Value
Conditional expected value
The expected value of a variable given that a particular event has occurred.
E(X | scenario) — kỳ vọng của X sau khi biết một scenario đã xảy ra.
Total probability rule cho E(X)
E(X) = Σ E(X | Sᵢ) · P(Sᵢ)
Tính E(X) trong từng scenario, rồi lấy weighted average theo xác suất scenario.
Đọc probability tree
Mỗi nhánh = một conditional outcome
Đi dọc một đường ⇒ nhân các xác suất (multiplication rule)
Cộng các đường dẫn tới cùng kết quả ⇒ total probability
4.4 · Bayes' Formula — đảo chiều conditional probability
P(A | B) = P(B | A) · P(A)P(B)Cập nhật P(A) sau khi có thông tin mới B. Đảo từ P(B|A) sang P(A|B).
Khi nào dùng Bayes
Đề cho P(evidence | cause) nhưng hỏi P(cause | evidence) — đảo chiều.
"Given a positive test, what is the probability of default?" — cho P(positive|default), hỏi P(default|positive).
Mẫu số P(B) tính bằng total probability rule: P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac).
Portfolio expected return KHÔNG phụ thuộc covariance/correlation. Nó chỉ phụ thuộc weights và expected returns.
Correlation ảnh hưởng risk, không ảnh hưởng expected return. Đề hay cho thêm σ và ρ để làm nhiễu ở dạng tính E(Rp).
5.2 · Covariance & Correlation — positive covariance KHÔNG phải "cùng dương"
Cov(A,B) = Σ Pi[RA,i − E(RA)][RB,i − E(RB)]
ρA,B = Cov(A,B) ÷ (σA σB)
Covariance
Correlation
Đo
Hướng co-movement
Hướng và độ mạnh linear co-movement
Khoảng giá trị
Không bị chặn
−1 ≤ ρ ≤ +1
Đơn vị
Phụ thuộc units/scale
Không đơn vị
So sánh giữa các cặp
Khó
Dễ
CovA,B = ρA,B · σA · σBCông thức chuyển đổi hai chiều
Trap quan trọng nhất của M5
Positive covariance KHÔNG có nghĩa cả hai assets đều có return dương. Nó có nghĩa hai deviations thường cùng dấu — thường cùng phía so với mean.
Ví dụ số: A có E(R) = 10%, B có E(R) = 6%. Năm nào recession: A về −5% (dev = −15), B về −2% (dev = −8). Tích deviation = (−15)×(−8) = +120 ⇒ góp dương vào covariance, dù cả hai return đều âm. Đời sống: Vietcombank và BIDV cùng lỗ trong quý xấu — cả hai đều dưới mean của chính chúng ⇒ cov > 0.
Cả hai cùng giảm (đều dưới mean) ⇒ âm × âm = dương ⇒ vẫn góp phần tạo positive covariance.
Đời sống: Hai cổ phiếu ngân hàng cùng ngành — thị trường tốt cùng lên, thị trường xấu cùng xuống ⇒ cov dương, dù có năm cả hai đều lỗ.
Đáp án CFA chuẩn: "returns tend to be on the same side of their expected values at the same time".
Đọc thành tiếng Việt: "cùng phía so với mean của chính chúng, cùng một lúc" — không nói tới dấu của return gốc.
Zero covariance ≠ independent. Chỉ nói không có linear co-movement. Independence mạnh hơn.
Ví dụ số: Y = X² với X = −2, −1, 0, 1, 2 (E(X) = 0). Tính Cov(X, Y) = E[X(X²)] − E(X)E(Y) = E(X³) − 0 = 0. Cov = 0 nhưng Y phụ thuộc hoàn toàn vào X. Đời sống: Cov = 0 giữa "lượng mưa" và "giá vàng" trong 5 năm không có nghĩa hai cái không liên quan — có thể chúng phụ thuộc theo hình cong mà công thức tuyến tính không bắt được.
5.3 · Portfolio Variance — phần quan trọng nhất, và bẫy nhất
σp² = wA²σA² + wB²σB² + 2 wA wB CovA,B= wA²σA² + wB²σB² + 2 wA wB ρA,B σA σB
wA²σA²
Risk của A
wB²σB²
Risk của B
2wAwBCov
Co-movement — nguồn của diversification
Bốn lỗi bấm máy — mất điểm nhiều nhất
Quên bình phương weights (w² chứ không phải w).
Quên số 2 ở term covariance.
Tính xong variance nhưng đề hỏi standard deviation — phải lấy căn.
Nhập 20 thay vì 0.20 — sai scale, kết quả lệch 100 hoặc 10,000 lần.
Cùng portfolio (30% stock σ 20%, 70% bond σ 12%), ba mức covariance
Cov(S,B)
σp²
σp
Nhận xét
+0.0144
0.0167
12.92%
Cùng phía ⇒ risk cao nhất
0
0.0107
10.32%
Không co-movement
−0.0144
0.0046
6.79%
Ngược phía ⇒ risk thấp nhất
Bản chất diversification
Giữ nguyên weights, expected returns, individual SD — chỉ giảm covariance ⇒ σp giảm nhưng E(Rp) không đổi.
ρ < 1 là đã có diversification benefit. KHÔNG cần correlation âm.
5.4 · Ba mức correlation đặc biệt
ρ
σp
Diversification
+1
σp = wAσA + wBσB
Thấp nhất — chỉ là averaging volatility (long-only)
< +1
σp < wAσA + wBσB
Có benefit
−1
σp = 0 nếu chọn đúng weights
Cao nhất — có thể tạo zero-variance portfolio
Zero-variance khi ρ = −1
Điều kiện: wAσA = wBσB
σA = 20%, σB = 10%
wA = 10/(20+10) = 1/3
wB = 20/(20+10) = 2/3
⇒ 33.33% A + 66.67% B ⇒ σp = 0
Weight nghịch đảo với SD: asset biến động mạnh hơn thì weight nhỏ hơn.
Trap chữ "always"
"Perfect negative correlation always produces zero-risk portfolio" → SAI. Chỉ zero khi chọn đúng weights.
"ρ = +1 gives maximum diversification" → SAI. Cho benefit thấp nhất.
"Lower correlation increases portfolio risk" → SAI. Làm giảm risk.
Chứng minh — vì sao cần "đúng weights"
Cho: σA = 20%, σB = 10%, ρ = −1.
Muốn portfolio zero risk:wAσA = wBσB
Thay số: wA(20%) = wB(10%)
Lại có:wA + wB = 1
Giải hệ:
→ wB = 2·wA
→ wA + 2wA = 1 → 3wA = 1
→ wA = 33.33%, wB = 66.67%
Tóm lại để nhớ: asset có SD cao hơn thì phải có weight thấp hơn — để hai bên triệt tiêu nhau. Bất kỳ tỷ lệ khác 33.33%/66.67% đều có σp > 0, dù ρ = −1.
SFRatioX = (12 − 3)/15 = 0.60 · SFRatioY = (10 − 3)/10 = 0.70
→ Chọn Y (SFRatio cao hơn), dù X có expected return cao hơn.
Ví dụ đầy đủ — 3 quỹ, tính SFRatio & P(shortfall)
Một pension fund cần return tối thiểu RL = 4% để trả tiền hưu. Có 3 quỹ lựa chọn:
Quỹ
E(R)
σ
SFRatio = (E(R)−RL)/σ
A
14%
20%
(14 − 4)/20 = 0.50
B
10%
10%
(10 − 4)/10 = 0.60
C
8%
6%
(8 − 4)/6 = 0.67
Bước 1 — Chọn quỹ: SFRatio cao nhất ⇒ Quỹ C (0.67). Bẫy: nhiều bạn chọn A vì E(R) cao nhất — sai. Roy chỉ quan tâm xác suất tụt dưới ngưỡng, không quan tâm upside.
Bước 2 — Tính P(shortfall) giả sử returns normal:P(R < RL) = N(−SFRatio)
• Quỹ A: N(−0.50) ≈ 30.9% → gần 1/3 xác suất tụt dưới 4%
• Quỹ B: N(−0.60) ≈ 27.4%
• Quỹ C: N(−0.67) ≈ 25.1% ← thấp nhất
Kết luận: chọn C — xác suất không đáp ứng nghĩa vụ hưu trí thấp nhất (25.1% vs 30.9% ở A).
Ý nghĩa hình học: SFRatio = 0.67 nghĩa là ngưỡng 4% cách E(R) đúng 0.67 độ lệch chuẩn. Càng xa (SFRatio cao) ⇒ xác suất rơi dưới ngưỡng càng nhỏ (đuôi trái càng mảnh).
Chart minh họa — Quỹ C: E(R)=8%, σ=6%, RL=4%
Vùng đỏ = xác suất return rơi dưới RL. SFRatio càng cao ⇒ RL càng lệch xa mean ⇒ vùng đỏ càng nhỏ.
SF Ratio vs Sharpe Ratio — giống hình thức, khác ngưỡng
SF Ratio (Roy)
SF Ratio = [ E(Rp) − RL ] ÷ σp
Ngưỡng = RL (minimum acceptable return) — mức return thấp nhất investor chấp nhận được. Do investor tự đặt tùy mục tiêu (nghĩa vụ hưu trí, chi phí sinh hoạt, lãi vay…).
Sharpe Ratio
Sharpe = [ E(Rp) − Rf ] ÷ σp
Ngưỡng = Rf (risk-free rate) — mức return khách quan của thị trường (T-bill). Đo excess return trên rủi ro.
⚠ Key point: RLkhông nhất thiết là risk-free rate. RL có thể cao hơn, thấp hơn, hoặc bằng Rf tùy investor.
Pension fund: RL = 7% (mức cần trả người hưởng lương hưu) — cao hơn Rf.
Retiree: RL = 3% (chi phí sinh hoạt hàng năm) — có thể ≈ Rf.
Endowment: RL = tỷ lệ lạm phát + chi trả — tùy chính sách.
Khi RL = Rf ⇒ SF Ratio trùng Sharpe Ratio ⇒ Sharpe là trường hợp đặc biệt của SF Ratio.
Câu nối keyword — Covariance & diversification
Covariance đo mức độ hai assets move together relative to their expected values, nên positive covariance chỉ có nghĩa hai deviations tend to be on the same side of their expected values at the same time — không có nghĩa cả hai đều có return dương. Chuẩn hóa covariance bởi tích hai standard deviations cho ra correlation, một đại lượng bounded between −1 and +1 và independent of units. Trong công thức portfolio variance, phần 2·w_A·w_B·Cov chính là co-movement term tạo ra diversification benefit: giữ nguyên weights và expected returns mà giảm correlation thì portfolio standard deviation falls while expected return stays unchanged. Chỉ cần correlation less than +1 là đã có benefit — không cần correlation âm — và ở correlation of −1 ta có thể dựng một zero-variance portfolio nếu chọn đúng weights.