Năm câu hỏi về một bộ dữ liệu: trung tâm ở đâu · một điểm nằm ở đâu · phân tán bao nhiêu · hình dạng thế nào · hai biến đi cùng nhau ra sao. Đề CFA hầu như chỉ gài bẫy ở n hay n−1, tail hay mass, và kurtosis hay excess kurtosis.
Pre.i–vi Data types · frequency distribution · visualization3.a Central tendency & location3.b Dispersion3.c Skewness & kurtosis3.d Correlation
Numerical = số, tính toán được (discrete: số lần default · continuous: return 8.27%). Categorical = phân loại (ngành, credit rating).
"investment grade / speculative"
Cross-sectional
Nhiều đối tượng, một thời điểm
"many firms at one date"
Time series
Một đối tượng, nhiều thời điểm
"one firm over many years"
Panel data
Nhiều đối tượng, nhiều thời điểm
"many firms over many years"
Frequency distribution
Gom data thành classes. Absolute = số observations · Relative = tỷ lệ (3/8 = 37.5%) · Cumulative = tích lũy.
"relative frequency"
I · Central Tendency — bảng phân biệt 4 cách xử lý outlier
Measure
Làm gì với outlier
Keyword trong đề
Ví dụ · data 1, 2, 3, 4, 100
Arithmetic mean
Giữ nguyên — dùng toàn bộ observations, nên bị outlier kéo mạnh nhất
"simple average"
(1+2+3+4+100)/5 = 22
Median
Bỏ qua — chỉ lấy vị trí giữa
"middle observation", skewed data
Sort → 1, 2, 3, 4, 100 → 3
Trimmed mean
XÓA một tỷ lệ observations ở hai đầu rồi tính mean
"remove observations from both tails"
Trim 20% → bỏ 1 & 100 → (2+3+4)/3 = 3 · n giảm còn 3
Winsorized mean
THAY THẾ extreme values bằng giá trị gần nhất còn lại — không xóa
"replace extreme values, do not delete"
1→2, 100→4 → 2,2,3,4,4 → mean = 3 · n vẫn 5
Mode
Giá trị xuất hiện nhiều nhất. Có thể có nhiều mode hoặc không có mode. Hợp với categorical data.
"most frequent"
2, 3, 5, 5, 7, 9 → mode = 5
Trimmed mean · dữ liệu 1, 2, 3, 4, 100
Trim 20% mỗi đầu ⇒ bỏ 1 và bỏ 100
Còn lại: 2, 3, 4
Trimmed mean = 3
Winsorized mean · cùng dữ liệu
Winsorize 20% ⇒ 1 → 2, 100 → 4
Data mới: 2, 2, 3, 4, 4
Winsorized mean = 3
Số quan sát không đổi (vẫn 5). Trimmed thì giảm còn 3.
Median: lẻ ⇒ lấy số giữa (2,4,7,9,10 ⇒ 7). Chẵn ⇒ trung bình 2 số giữa (2,4,7,9 ⇒ 5.5). Outlier: 10, 12, 14 ⇒ mean = 12. Thêm 100 ⇒ mean = 34, không còn đại diện cho phần lớn data.
Chọn mean nào — bảng tổng hợp
Đề hỏi
Dùng
Simple average
Arithmetic mean
Compound growth
Geometric mean
Equal money at different prices · average P/E
Harmonic mean
Skewed data · có outliers
Median
Remove outliers
Trimmed mean
Replace outliers
Winsorized mean
Most frequent value
Mode
II · Quantiles & Box Plot
Quantile
Chia sorted data thành các phần bằng nhau
Quartile → 4 phần Quintile → 5 phần Decile → 10 phần Percentile → 100 phần
P₉₀ nghĩa là 90% observations nằm bằng hoặc dưới value đó — không có nghĩa observation đó bằng 90%.
Vị trí percentile
Ly = (n + 1) × y/100
Data: 10, 20, 30, 40, 50 · tìm P₂₅
L = (5+1) × 0.25 = 1.5
Nằm giữa obs 1 và 2:
P₂₅ = 10 + 0.5(20 − 10) = 15
Trap: vị trí không nguyên ⇒ phải interpolate, không làm tròn.
BA II Plus: 2ND DATA → nhập X01…X05 → 2ND STAT → 1-V → đọc X̄, Sx, σx, n.
Xấp xỉ Geometric mean từ Arithmetic mean
G ≈ A − s²/2s² viết dạng decimal. A = 10%, s² = 0.04 ⇒ G ≈ 0.10 − 0.02 = 8%
Ý nghĩa
Variance càng lớn ⇒ geometric mean càng thấp so với arithmetic mean. Đây chính là volatility drag của M1, viết dưới dạng công thức.
IV · Coefficient of Variation & Target Downside Deviation
Coefficient of Variation
CV = s ÷ X̄
Risk trên mỗi đơn vị return. CV thấp hơn ⇒ tốt hơn.
A: mean 10%, SD 5% ⇒ CV = 0.50
B: mean 15%, SD 9% ⇒ CV = 0.60
→ A hấp dẫn hơn dù B có return cao hơn
Công dụng: so sánh datasets có means khác nhau hoặc units/scales khác nhau. Hạn chế: vô nghĩa khi mean bằng 0, âm, hoặc rất gần 0.
Target Downside Deviation
= target semideviation = downside deviation
√[ ΣXᵢ ≤ B (Xi − B)² ÷ (n − 1) ]
Returns 5%, 1%, −2%, 4% · target B = 2%
Chỉ giữ returns dưới target:
1 − 2 = −1 · −2 − 2 = −4
Σ = 1² + 4² = 17
s = √(17 ÷ 3) = 2.38%
Trap: tử số chỉ lấy returns dưới target, nhưng mẫu số vẫn là n − 1 của TOÀN BỘ observations (ở đây 4 − 1 = 3), không phải số returns dưới target.
Bản chất SD vs downside deviation
Standard deviation phạt cả upside lẫn downside surprise.
Target downside deviation chỉ phạt downside. Investor không ghét return cao hơn mean — chỉ ghét return thấp hơn target.
V · Skewness — gọi tên theo TAIL, không theo mass
Skewness đo gì · xác định làm gì
Đo gì: mức độ lệch (bất đối xứng) của distribution quanh mean — tail dài bên nào và dài bao nhiêu.
Xác định làm gì: biết được risk profile của tài sản. Positive skew ⇒ thỉnh thoảng có upside cực lớn (lottery-like). Negative skew ⇒ thỉnh thoảng có downside cực lớn (short vol) — investor ghét loại này hơn.
Liên hệ mean-median-mode: vị trí ba giá trị này chỉ ra ngay hướng skew mà không cần tính công thức.
Distribution
Tail dài ở đâu
Quan hệ
Ví dụ đầu tư
Positive skew (right skew)
Bên phải
Mode < Median < Mean
Lottery-like: phần lớn return thấp, đôi lúc cực cao. VD: −5, 0, 1, 2, 50
Negative skew (left skew)
Bên trái
Mean < Median < Mode
Short volatility: lời nhỏ đều, thỉnh thoảng lỗ rất lớn. VD: 2, 2, 3, 3, −40
Symmetric
Hai tail cân
Mean = Median = Mode
Skewness = 0
Keyword lừa số 1 của M3
Tên skew dựa vào TAIL, không dựa vào nơi data tập trung. Positive skew ⇒ mass nằm bên trái, tail kéo dài sang phải.
Nhớ một chiều: Mean bị outlier kéo đi xa nhất. Tail phải ⇒ mean lớn nhất. Tail trái ⇒ mean nhỏ nhất. Median luôn ở giữa.
Chart minh hoạ — 3 hình dạng skew
Negative skew
Tail bên trái · Mean < Median < Mode
VD đầu tư: short volatility — lời đều, thỉnh thoảng lỗ lớn.
Symmetric
Skewness = 0 · Mean = Median = Mode
Normal distribution: cân đối hoàn hảo, không có bên nào bị kéo dài.
Positive skew
Tail bên phải · Mode < Median < Mean
VD đầu tư: lottery-like — return thấp phần lớn, đôi lúc cực cao.
VI · Kurtosis — 3 hay 0?
Kurtosis đo gì · xác định làm gì
Đo gì:độ béo của tail và độ nhọn của peak so với normal distribution.
Xác định làm gì: đo tail risk — khả năng xảy ra biến cố cực đoan. Leptokurtic (fat tails) ⇒ nhiều outcome cực đoan hơn model normal dự báo, rủi ro thị trường bị đánh giá thấp.
Chuẩn so sánh: normal có kurtosis = 3 (excess = 0). Đó là lý do đề luôn cho excess kurtosis — chỉ cần cộng 3 hoặc so 0 để phân loại.
Type
Kurtosis
Excess kurtosis
Tail
Đặc điểm
Platykurtic
< 3
< 0
Thin
Flatter, ít extreme outcomes hơn normal
Mesokurtic
= 3
= 0
Normal
Giống normal distribution
Leptokurtic
> 3
> 0
Fat
Higher peak, fatter tails, nhiều extreme outcomes hơn
Excess kurtosis = Kurtosis − 3Normal distribution có kurtosis = 3 và excess kurtosis = 0
Trap
Đề nói "excess kurtosis = 2" ⇒ total kurtosis = 3 + 2 = 5 ⇒ leptokurtic. Đừng so 2 với 3 rồi kết luận platykurtic.
Leptokurtic ⇒ tail risk cao hơn. Nhưng không có nghĩa standard deviation nhất thiết cao hơn — kurtosis nói về shape/tails, không phải mức độ phân tán tổng thể.
Bài tập — 3 hedge fund, chọn cái nào rủi ro tail cao nhất?
Một analyst nhận báo cáo excess kurtosis của 3 quỹ có cùng mean và cùng standard deviation:
Quỹ
Excess kurtosis
Kurtosis
Phân loại
Fund A
−0.8
?
?
Fund B
0
?
?
Fund C
+2.5
?
?
Câu hỏi
Tính total kurtosis của mỗi quỹ.
Phân loại mỗi quỹ (platy / meso / lepto).
Quỹ nào có tail risk cao nhất? Vì sao đây không phải là "quỹ có volatility cao nhất"?
▸ Xem lời giải
Quỹ
Kurtosis = excess + 3
Phân loại
Tail
A
−0.8 + 3 = 2.2 < 3
Platykurtic
Thin — ít cực đoan hơn normal
B
0 + 3 = 3
Mesokurtic
Normal
C
2.5 + 3 = 5.5 > 3
Leptokurtic
Fat — nhiều cực đoan hơn
Đáp án 3:Fund C có tail risk cao nhất. Excess kurtosis = +2.5 ⇒ fat tails ⇒ những cú lỗ cực lớn (và lời cực lớn) xảy ra thường xuyên hơn model normal dự báo.
Vì sao không phải "volatility cao nhất"? Đề đã chốt: 3 quỹ có cùng standard deviation. SD đo độ phân tán trung bình quanh mean. Kurtosis chỉ tái phân phối rủi ro đó — dồn vào phần đuôi thay vì phần vai. Nên C không dao động mạnh hơn A hay B tính trung bình, nhưng khi có biến cố thì biến cố đó cực đoan hơn.
Bài học cho đề thi: gặp "excess kurtosis", cộng 3 trước khi so với 3. Gặp "fat tails", nghĩ tail risk — không nghĩ SD.
Chart minh hoạ — 3 hình dạng kurtosis
Platykurtic
Kurtosis < 3 · thin tails · flat peak
Peak bẹt, tail gầy — outcomes tập trung, ít extreme hơn normal.
Mesokurtic · Normal
Kurtosis = 3 · excess = 0
Chính là normal distribution — mốc so sánh chuẩn.
Leptokurtic
Kurtosis > 3 · fat tails · high peak
Peak nhọn, tail béo — nhiều outcomes cực đoan hơn normal.
VII · Covariance & Correlation — bốn câu lý thuyết chắc chắn có
Cov & Corr đo gì · xác định làm gì
Đo gì:Covariance — hai biến có di chuyển cùng phía với mean của chính chúng hay không (dấu + / − / 0). Correlation — cùng câu hỏi, nhưng đã chuẩn hoá về [−1, +1] để so sánh được giữa các cặp có đơn vị khác nhau.
Xác định làm gì: đo quan hệ tuyến tính giữa hai biến. Trong portfolio, correlation thấp giữa các asset là gốc rễ của diversification benefit. Trong regression, correlation quyết định độ mạnh của mối liên hệ.
Chỉ đo TUYẾN TÍNH: corr = 0 không có nghĩa hai biến độc lập — chỉ có nghĩa không có quan hệ đường thẳng. Cần xem thêm scatterplot để phát hiện quan hệ phi tuyến hoặc outliers.
Covariance
Cov(X,Y) = Σ(Xi − X̄)(Yi − Ȳ) ÷ (n − 1)
Dương ⇒ thường cùng phía với mean
Âm ⇒ thường trái phía với mean
Bằng 0 ⇒ không có linear co-movement rõ
Nhược điểm: magnitude khó diễn giải vì phụ thuộc units.
Correlation
rXY = Cov(X,Y) ÷ (sX · sY)
−1 ≤ rXY ≤ +1
Chuẩn hóa covariance ⇒ không có đơn vị, dễ so sánh, luôn nằm trong [−1, +1].
+1 perfect positive linear · 0 no linear relation · −1 perfect negative linear. Chỉ đo quan hệ TUYẾN TÍNH.
Bốn câu lý thuyết rất hay thi — kèm ví dụ dễ hiểu
① Correlation ≠ Causation. Chỉ vì hai thứ đi cùng nhau không có nghĩa cái này gây ra cái kia.
Ví dụ: Tháng nào bán được nhiều kem thì tháng đó cũng có nhiều người chết đuối. Correlation dương rất cao. Nhưng ăn kem không làm ai chết đuối — cả hai đều do trời nóng (biến thứ ba). Đây là spurious correlation.
② Correlation = 0 KHÔNG có nghĩa hai biến độc lập. Nó chỉ nói không có quan hệ đường thẳng. Vẫn có thể có quan hệ cong.
Ví dụ: Y = X² với X = −2, −1, 0, 1, 2 → Y = 4, 1, 0, 1, 4. Vẽ ra thì Y phụ thuộc 100% vào X (hình chữ U). Nhưng tính correlation ra ≈ 0 — vì không có đường thẳng nào fit được hình U.
→ Bài học: corr = 0 chỉ nói "không có đường thẳng", chứ không có nghĩa "không liên quan".
③ Chiều ngược lại thì đúng: nếu hai biến độc lập ⇒ covariance/correlation = 0.
Ví dụ: Tung đồng xu ở Hà Nội và tung xúc xắc ở Sài Gòn. Hai hành động hoàn toàn không dính nhau ⇒ chắc chắn cov = 0 và corr = 0.
→ Independence là điều kiện mạnh hơn corr = 0.
④ Outliers làm correlation không đáng tin — luôn nhìn scatterplot trước.
Ví dụ: Chiều cao và cân nặng của 20 người bạn — corr đúng ra là +0.7 (cao thì nặng hơn). Nhưng nếu thêm 1 người 220 cm nặng 40 kg (outlier bịa) → công thức có thể nhả ra corr = +0.2 hoặc thậm chí âm, mặc dù bản chất 20 người kia vẫn có quan hệ thuận.
→ Nếu chỉ nhìn con số 0.2 sẽ kết luận sai. Vẽ scatterplot ra thấy ngay 1 chấm lệch hẳn khỏi đám còn lại.
Outlier effect — tóm tắt cả module
Outlier làm: mean lệch mạnh · SD tăng mạnh · skewness thay đổi · correlation bị distort.
Khi có outlier: median đại diện tốt hơn mean · dùng trimmed/winsorized mean · xem scatterplot trước khi tin correlation.
Câu nối keyword — LOS 3.d
Correlation là a measure of the linear relationship between two random variables, thu được bằng cách standardizing the covariance bởi tích hai standard deviations, nên nó has no units và luôn nằm trong [−1, +1]. Chính vì chỉ đo linear, một correlation bằng 0 chỉ nói lên no linear relationship chứ does not imply independence — hai biến vẫn có thể có a strong nonlinear relationship. Ở chiều ngược lại, correlation cao does not imply causation: quan hệ có thể là spurious correlation phát sinh by chance hoặc do a third variable that causes both. Ngoài ra outliers can make correlation unreliable, nên trước khi diễn giải con số, phải nhìn scatterplot.
VIII · Keyword → chọn gì
IX · Chín dạng bài — cách làm nhanh
X · Bảy lỗi sai nhiều nhất M3
Lỗi
Sửa
Sample variance chia n thay vì n − 1
Đọc kỹ "a sample of" vs "all". Trên máy: Sx chứ không phải σx.
Nhìn mass thay vì tail để gọi skewness
Positive skew = tail phải dài, mass nằm bên trái, Mean lớn nhất.