CFA Level I · Quantitative Methods · Module 2

The Time Value of
Money in Finance

80 slides nhưng chỉ có một ý tưởng: mọi giá trị là PV của dòng tiền tương lai. Điểm mất điểm không nằm ở công thức — nằm ở đọc đề: payment đầu tiên rơi vào đâu, D₀ hay D₁, N tính từ mốc nào.

Pre.i–ii TVM · compounding frequency 2.a Fixed-income & equity instruments 2.b Implied return & growth rate 2.c Cash flow additivity · no-arbitrage

I · Nền tảng — chỉ có hai thao tác

FV = PV(1 + r)^NCompounding · đi xuôi timeline → nhân

PV = FV ÷ (1 + r)^NDiscounting · đi ngược timeline → chia

Biến thể	Công thức	Điểm dễ sai
Simple interest	FV = PV(1 + rN)	Không có "interest on interest". 100 @10% × 3y = 130 (vs compound 133.10). CFA mặc định dùng compound.
Periodic compounding m lần / năm	FV = PV(1 + r/m)^N×m	I/Y = r ÷ m và N = năm × m. Nhập I/Y = annual rate với N = số kỳ là sai.
Continuous	FV = PV·e^rN	FV_annual < FV_periodic < FV_continuous, nhưng continuous là giới hạn, không tăng vô hạn. 100 @8%: 108.00 → 108.33.

Trap đếm N — xuất hiện liên tục

10 triệu nhận ở năm 5, hỏi giá trị ở năm 15, r = 9% ⇒ N = 10, không phải 15. FV = 10(1.09)¹⁰ = 23.67.
N là khoảng cách giữa nơi tiền xuất hiện và nơi cần đưa tới. Luôn vẽ timeline trước khi bấm máy.

II · Ordinary Annuity vs Annuity Due — chỉ khác payment đầu tiên

ORDINARY · first payment ở CUỐI kỳ đầu tiên · END

t=0

PMT

t=1

PMT

t=2

PMT

t=3

ANNUITY DUE · first payment ngay tại t=0 · BGN

PMT

t=0

PMT

t=1

PMT

t=2

t=3

PV_ord = PMT × [1 − (1+r)^−N] ÷ r

FV_ord = PMT × [(1+r)^N − 1] ÷ r

PV_due = PV_ord × (1+r) · FV_due = FV_ord × (1+r)Due sớm hơn đúng 1 kỳ ⇒ discount ít hơn 1 kỳ, compound nhiều hơn 1 kỳ

100/năm × 3 năm, r = 10% ⇒ PV_ord = 248.69 · PV_due = 248.69 × 1.10 = 273.56

Đọc đề — chỉ nhìn payment đầu tiên

"one period from now" · "at the end of each year" ⇒ ordinary ⇒ END
"immediately" · "beginning of each year" · "starting today" ⇒ due ⇒ BGN
Đừng nhìn chữ "annual payment" rồi đoán. Và nhớ tắt BGN — quên tắt là lỗi phổ biến nhất phòng thi.

III · Perpetuity & Deferred Perpetuity — bẫy lớn nhất M2

PV₀ = PMT₁ ÷ rĐiều kiện: first payment ở t = 1, cash flow không đổi

Perpetuity formula luôn cho value ở MỘT KỲ TRƯỚC first payment

First payment ở	Formula cho value ở	Phải làm tiếp
Năm 1	Năm 0	Xong — đó là PV₀
Năm 4	Năm 3	÷ (1+r)³ ← không phải 4
Năm 10	Năm 9	÷ (1+r)⁹

D₄ = 4.5, r = 8% ⇒ PV₃ = 4.5/0.08 = 56.25 ⇒ PV₀ = 56.25/(1.08)³ = 44.65

Cùng logic này xuất hiện lại ở terminal value của multi-stage DDM

P_n = D_n+1 ÷ (r − g) ⇒ terminal value nằm ở kỳ trước dividend đầu tiên của giai đoạn constant growth.

IV · Chọn công cụ — TVM hay CF worksheet

Dạng cash flow	Dùng	Ghi chú
Lump sum · equal payments · coupon bond	TVM	N, I/Y, PV, PMT, FV. PV và FV trái dấu.
Unequal cash flows · multi-stage DDM	CF → NPV	CF0 = cash flow tại t=0 (thường = 0). F0x = số lần lặp.
Hỏi rate ngược từ chuỗi CF (IRR / MWR)	CF → IRR	Chính là MWR của M1.
Perpetuity · Gordon Growth	Tính tay	PMT/r hoặc D₁/(r−g).

CF: 100, 170, 230, 260 · r = 10% ⇒ NPV = 581.79

V · Fixed Income — ba dạng cash flow

	Discount instrument	Coupon instrument	Annuity instrument
Cash flow	Một FV ở maturity, không coupon	Coupon đều + principal ở maturity	Equal payments = interest + principal
Ví dụ	Zero-coupon bond · T-bill	Coupon bond · perpetual bond	Mortgage · amortizing loan
BA II Plus	N, I/Y, FV, PMT=0 → CPT PV	N, I/Y, PMT, FV → CPT PV	N, I/Y, PV, FV=0 → CPT PMT

Các trap của fixed income

Tình huống	Kết luận	Vì sao
Zero-coupon, r > 0	PV < FV	100 ÷ (1.067)²⁰ = 27.33
Time passes, yield không đổi	Price TĂNG dần về par	Pull to par / price accretion. Remaining maturity giảm ⇒ ít kỳ discount hơn. Không phải do yield đổi.
Negative yield	PV > FV	100 ÷ (1 − 0.0005)¹⁰ = 100.50. Xảy ra khi safety demand, liquidity, regulation, deflation expectations.
Coupon rate = YTM	Par	Bond trả hào phóng hơn thị trường đòi ⇒ đắt hơn par, và ngược lại.
Coupon rate > YTM	Premium
Coupon rate < YTM	Discount
Semiannual coupon	N×2 · I/Y÷2 · PMT÷2	20-year, coupon 6.7%, YTM 6.7% ⇒ N=40, I/Y=3.35, PMT=3.35, PV=100. Nhập N=20, I/Y=6.7 là sai.
Perpetual bond, coupon quarterly	r ra là PERIODIC rate	PMT_q = 3.3/4 = 0.825 · r_q = 0.825/97.03 = 0.85% · annual nominal = 0.85% × 4 = 3.40%
Mortgage amortization	PMT không đổi	Ban đầu interest cao, principal repayment thấp. Về sau ngược lại. 800,000 · 360 kỳ · 0.4375%/kỳ ⇒ PMT = 4,417.63

VI · Equity — D₀ hay D₁, terminal value ở năm nào

Constant dividend

P₀ = D ÷ r

Chính là perpetuity (g = 0). D = 1.5, r = 15% ⇒ P₀ = 10.

Gordon Growth

P₀ = D₁ ÷ (r − g)

Điều kiện r > g. Dùng D₁, không phải D₀.

Implied return / growth

r = D₁/P₀ + g

Required return = dividend yield + growth. Đảo lại: g = r − D₁/P₀.
Từ P/E: r = payout ÷ forward P/E + g.

Đọc đề — hai chỗ mất điểm

"last dividend paid" · "the dividend just paid" ⇒ đó là D₀ ⇒ phải tính D₁ = D₀(1+g) trước.
D₀ = 2.00, g = 5%, r = 10% ⇒ P₀ = 2.10/0.05 = 42.00, không phải 40.00.
"expected dividend next year" ⇒ đã là D₁, dùng thẳng.

Multi-stage DDM — chỗ duy nhất thực sự khó

D₀ = 1.50 · g = 20% (3 năm), 15% (2 năm), 6% forever · r = 12%

1 · Forecast dividends

D₁=1.800 D₂=2.160 D₃=2.592
D₄=2.981 D₅=3.428 D₆=3.634

2 · Terminal value

Constant growth bắt đầu từ D₆
⇒ P₅ = D₆/(r−g)
⇒ P₅ = 3.634/0.06 = 60.56

Terminal value ở năm 5, dùng D₆.

3 · Discount về t=0

CF cuối gộp D₅ + P₅ = 63.99
NPV @12% ⇒ P₀ ≈ 43.37

Discount P₅ bằng (1.12)⁵, không phải (1.12)⁶.

P_n = D_n+1 ÷ (r − g) "Constant growth begins after year 5" ⇒ D₆ là dividend đầu tiên tăng ở g ⇒ P₅, discount 5 kỳ

VII · Cash Flow Additivity & No-Arbitrage — lý thuyết có thi

Cash flow additivity principle

The present value of any stream of cash flows equals the sum of the present values of the cash flows.

PV(A + B) = PV(A) + PV(B). Một chuỗi phức tạp luôn tách được thành nhiều chuỗi đơn giản.

No-arbitrage principle

Arbitrage = không bỏ vốn ròng + không chịu risk + chắc chắn có profit

Same future cash flows → same price today

Nếu khác giá ⇒ mua rẻ, bán đắt, lock in riskless profit. Đây là nền của forward rate, forward FX, và option pricing.

Implied forward rate

(1 + r₂)² = (1 + r₁)(1 + f_1,1)

r₁ = 2.5%, r₂ = 3.5%
f_1,1 = 1.035² ÷ 1.025 − 1 = 4.51%

Trap concept: forward rate không phải forecast lãi suất tương lai. Nó là rate implied từ spot rates theo no-arbitrage — mức mà investor bàng quan giữa hai chiến lược.

Forward exchange rate

F_f/d = S_f/d × (1 + i_f) ÷ (1 + i_d)

Đồng nào ở tử số của tỷ giá thì lãi suất đồng đó ở tử số. Bản chất: đầu tư trực tiếp bằng domestic, hoặc đổi sang foreign rồi hedge bằng forward — phải cho cùng kết quả. Đồng lãi suất cao hơn sẽ giảm giá trong forward.

Option pricing (giới thiệu)

c_u − c_dS_u − S_d

Dựng portfolio (shares + option) sao cho value bằng nhau ở up state và down state ⇒ riskless ⇒ discount ở risk-free rate ⇒ giải ngược ra option value. Học kỹ ở Derivatives.

Câu nối keyword — LOS 2.c

Nguyên lý cash flow additivity nói rằng the present value of any stream of future cash flows equals the sum of the present values of those cash flows, nên một chuỗi phức tạp luôn có thể decomposed into simpler streams. Nó là hệ quả của the no-arbitrage principle: nếu two investments have identical future cash flows thì must have the same price today; ngược lại nhà đầu tư sẽ buy the cheaper asset and sell the more expensive one để earn a riskless profit with no net investment. Từ đó suy ra implied forward rate — mức lãi at which an investor is indifferent between two strategies — chứ không phải một dự báo. Cùng logic cho ra forward exchange rate qua covered interest rate parity, và cho ra option value bằng cách dựng một riskless portfolio qua hedge ratio rồi discount at the risk-free rate.

VIII · Annualized return (nhắc lại M1)

r_annual = (1 + r_period)ⁿ − 1Return 6.2% trong 100 ngày ⇒ n = 3.65 ⇒ (1.062)^3.65 − 1 = 24.55%. Đáp án 22.63% (= 6.2 × 3.65) là bẫy.

IX · Keyword dễ lừa → làm gì

X · Mười lăm dạng bài — nhận diện → bấm máy BA II Plus

XI · Cách CFA ra đề M2

Dễ

PV/FV lump sum
Annuity
Perpetuity
Gordon Growth
Implied return

Trung bình

Deferred perpetuity
Semiannual bond
Mortgage
Annualized return
Implied forward rate

Khó

Multi-stage DDM
Cash flow additivity
Timeline dài
Terminal value timing
Annuity due + deferred cash flow

XII · Bẫy keyword — Đúng hay Sai?

Statement	Verdict

XIII · Tự kiểm tra — 24 câu

Đúng 0