Tổng quan các đường
Capital Allocation Line
Capital Market Line
Efficient Frontier
Security Market Line
Security Characteristic Line
Risk-Adjusted Measures
Indifference Curve
So sánh tổng hợp
🗺️ Bản đồ quan hệ
Biểu đồ thể hiện Efficient Frontier, CML, và một CAL (danh mục bất kỳ) trên cùng hệ trục σ–E(R). Market Portfolio (M) là điểm tiếp tuyến.
Capital Allocation Line
📐 Định nghĩa
CAL là đường thẳng thể hiện tất cả các kết hợp risk-return có thể đạt được khi nhà đầu tư phân bổ vốn giữa tài sản phi rủi ro (Rf) và một danh mục rủi ro (P) bất kỳ.
Slope = (E(RP) − Rf) / σP = Sharpe Ratio của danh mục P
🎛️ Tương tác — Thay đổi tham số
Sharpe Ratio hiện tại: 0.50
💡 Điểm quan trọng
Bên trái điểm P: nhà đầu tư "lending" (đầu tư một phần vào Rf). Bên phải điểm P: nhà đầu tư "borrowing" (vay thêm tiền để đầu tư vào P).
Slope của CAL chính là Sharpe Ratio — thước đo reward-to-risk. CAL có slope càng dốc = danh mục P càng hiệu quả.
Mỗi danh mục rủi ro khác nhau sẽ tạo ra một CAL riêng. Có vô số CAL, nhưng CAL tối ưu nhất chính là CML.
CAL luôn bắt đầu từ điểm Rf trên trục Y (σ = 0). Tại đây, 100% vốn được đầu tư vào tài sản phi rủi ro.
Capital Market Line
📐 Định nghĩa
CML là trường hợp đặc biệt của CAL, khi danh mục rủi ro được chọn là Market Portfolio (M) — danh mục chứa tất cả tài sản rủi ro trên thị trường theo tỷ trọng vốn hóa. CML là CAL có Sharpe Ratio cao nhất, tiếp tuyến với Efficient Frontier tại điểm M.
🎛️ Tương tác — CML & Efficient Frontier
💡 Điểm quan trọng
CML là CAL có slope (Sharpe Ratio) cao nhất trong tất cả các CAL có thể. Đây là đường tiếp tuyến từ Rf đến Efficient Frontier.
CML chỉ áp dụng cho các danh mục đã được đa dạng hóa hoàn toàn (efficient/well-diversified portfolios), KHÔNG áp dụng cho từng chứng khoán riêng lẻ.
Trục X của CML là σ (standard deviation) = total risk. Khác với SML dùng β (systematic risk only).
Tất cả nhà đầu tư sẽ chọn kết hợp giữa Rf và M. Sự khác nhau chỉ ở tỷ lệ phân bổ (tùy risk tolerance).
Efficient Frontier
📐 Định nghĩa
Efficient Frontier là tập hợp tất cả các danh mục tối ưu — nghĩa là những danh mục cho expected return cao nhất tại mỗi mức risk, hoặc risk thấp nhất tại mỗi mức return. Đường cong này nằm ở nửa trên của "Minimum-Variance Frontier" (MVF), từ Global Minimum-Variance Portfolio (GMV) trở lên.
🎛️ Tương tác — Thay đổi tương quan
Kéo thanh ρ để thấy ρ↓ → đường cong bẻ cong mạnh hơn (diversification benefit ↑). Tại ρ = −1, risk có thể giảm về 0.
💡 Điểm quan trọng
MVF là toàn bộ đường cong (hình viên đạn). EF chỉ là nửa trên — từ GMV Portfolio trở lên.
ρ càng thấp → đường cong EF càng bẻ cong về trái → lợi ích đa dạng hóa càng lớn. Tại ρ = +1, EF là đường thẳng (không có diversification benefit).
Global Minimum-Variance Portfolio là danh mục có risk thấp nhất trên toàn bộ MVF. Nó nằm ở "mũi" của đường cong.
Khi vẽ đường từ Rf tiếp tuyến với EF, ta được CML. Điểm tiếp tuyến chính là Market Portfolio (M).
Security Market Line
📐 Định nghĩa
SML là biểu diễn đồ thị của mô hình CAPM (Capital Asset Pricing Model). Nó thể hiện mối quan hệ tuyến tính giữa Expected Return và Beta (β) — chỉ systematic risk. SML áp dụng cho MỌI tài sản (cả chứng khoán riêng lẻ lẫn danh mục).
Slope = E(RM) − Rf = Market Risk Premium
🎛️ Tương tác — Mispricing & Alpha
Điểm nằm TRÊN SML = Undervalued (α > 0, nên MUA). Điểm nằm DƯỚI SML = Overvalued (α < 0, nên BÁN).
💡 Điểm quan trọng
SML chỉ đo lường systematic risk (beta). Unsystematic risk (diversifiable risk) không được thị trường compensate → không xuất hiện trên SML.
Khác CML chỉ dùng cho efficient portfolios, SML áp dụng cho cả chứng khoán riêng lẻ, danh mục chưa efficient, và mọi tài sản có β.
α = Actual Return − CAPM Required Return. α > 0 → tài sản bị undervalued. α < 0 → tài sản bị overvalued.
Market Portfolio luôn nằm trên SML tại β = 1. Tại β = 0, E(R) = Rf.
Security Characteristic Line
📐 Định nghĩa
SCL là đường hồi quy tuyến tính (regression) giữa excess return của chứng khoán i (Ri − Rf) và excess return của thị trường (RM − Rf). Đây là cách thực nghiệm để ước lượng Beta và Alpha của một chứng khoán.
🎛️ Tương tác — Regression
💡 Điểm quan trọng
Slope của SCL chính là β — độ nhạy cảm của excess return chứng khoán với market excess return. β > 1 = aggressive, β < 1 = defensive.
Y-intercept = α = phần return "vượt trội" so với CAPM. α > 0 = manager tạo ra giá trị thêm (outperform). α < 0 = underperform.
SCL được ước lượng từ dữ liệu lịch sử (scatter plot). Mỗi điểm = 1 kỳ (tháng/tuần). Đường fit = đường hồi quy OLS.
Phần sai số ε đại diện cho firm-specific risk — có thể loại bỏ qua đa dạng hóa. Variance(ε) = unsystematic variance.
Risk-Adjusted Performance Measures
🗂️ Phân loại theo loại risk sử dụng
Các chỉ số này được chia thành 2 nhóm dựa trên loại rủi ro dùng ở mẫu số:
| Nhóm | Loại risk | Chỉ số | Khi nào dùng |
|---|---|---|---|
| Nhóm 1 | Total Risk (σ) Standard deviation |
Sharpe Ratio M² (Modigliani) |
Đánh giá portfolio chưa đa dạng hóa hoàn toàn hoặc khi portfolio đại diện toàn bộ tài sản đầu tư của nhà đầu tư. |
| Nhóm 2 | Systematic Risk (β) Beta |
Treynor Ratio Jensen's Alpha |
Đánh giá portfolio đã đa dạng hóa tốt, hoặc portfolio chỉ là 1 phần trong danh mục tổng thể (unsystematic risk đã bị loại bỏ). |
1 Sharpe Ratio
Định nghĩa: Đo lường excess return trên mỗi đơn vị total risk. Chính là slope của CAL/CML.
Total risk (σ) → dùng cho bất kỳ portfolio nào, kể cả chưa efficient.
Cả hai: có thể tính bằng expected return (ex-ante) hoặc realized return (ex-post).
Là tỷ số không đơn vị. Sharpe càng cao càng tốt. Dùng để xếp hạng nhiều portfolio.
Sharpe âm khó diễn giải. Không phân biệt được portfolio đã diversify hay chưa.
2 Treynor Ratio
Định nghĩa: Đo lường excess return trên mỗi đơn vị systematic risk (β). Tương tự Sharpe nhưng mẫu số là β thay vì σ.
Systematic risk (β) → chỉ có ý nghĩa khi portfolio đã well-diversified.
Giả định unsystematic risk = 0 (đã loại bỏ hoàn toàn). Nếu không, Treynor sẽ overstate hiệu quả.
Là tỷ số. Treynor càng cao càng tốt. Dùng xếp hạng portfolio đã được diversify.
Treynor âm → khó diễn giải. Không dùng để so sánh khi β trái dấu.
3 Jensen's Alpha (α)
Định nghĩa: Phần return vượt trội so với mức required return theo CAPM. Đo lường "kỹ năng" của portfolio manager.
Systematic risk (β) → dựa trên CAPM. Phù hợp portfolio đã diversify.
α > 0: manager outperform (skill tốt). α = 0: hiệu quả bằng thị trường. α < 0: underperform.
Tính bằng % → cho biết "vượt trội bao nhiêu %". Chính là Y-intercept của SCL.
α > 0 → điểm nằm TRÊN SML (undervalued). α < 0 → điểm nằm DƯỚI SML (overvalued).
4 M² (Modigliani – Modigliani Measure)
Định nghĩa: Điều chỉnh portfolio về cùng mức total risk với thị trường (σM) rồi so sánh return. Cho biết portfolio vượt trội bao nhiêu % so với thị trường trên cùng mức risk.
= Sharpep × σM − ( RM − Rf )
Total risk (σ) → cùng nhóm với Sharpe, nhưng biểu diễn theo % nên dễ hiểu hơn.
Cho ra cùng thứ tự xếp hạng với Sharpe — vì M² là biến đổi tuyến tính của Sharpe.
Tính bằng % — return vượt trội so với market khi điều chỉnh về cùng risk. Trực quan hơn Sharpe.
M² > 0: portfolio outperform market. M² < 0: underperform. M² = 0: bằng thị trường.
🎛️ Minh hoạ — Tính toán 4 chỉ số cho 1 portfolio
Biểu đồ so sánh Sharpe của portfolio với Sharpe của thị trường. Nếu điểm P nằm trên CML → outperform (M² > 0, Sharpep > SharpeM).
📋 Bảng tổng hợp so sánh 4 chỉ số
| Tiêu chí | Sharpe | Treynor | Jensen's α | M² |
|---|---|---|---|---|
| Công thức | (Rp−Rf)/σp | (Rp−Rf)/βp | Rp − CAPM | Sharpe·σM − MRP |
| Loại risk | Total (σ) | Systematic (β) | Systematic (β) | Total (σ) |
| Đơn vị | Tỷ số (không đơn vị) | Tỷ số (%/β) | Phần trăm (%) | Phần trăm (%) |
| Slope của đường | CAL / CML | — | Intercept của SCL | — |
| Dùng cho portfolio | Bất kỳ (kể cả undiversified) | Well-diversified | Well-diversified | Bất kỳ |
| Cho ranking? | Có | Có | Không (absolute measure) | Có (giống Sharpe) |
| Càng lớn càng tốt | ✓ | ✓ | ✓ (α > 0) | ✓ (M² > 0) |
🔑 Ghi nhớ nhanh
Cùng dựa trên σ, cho cùng thứ hạng. M² dễ hiểu hơn vì tính bằng %.
Cùng dựa trên β, đều đến từ CAPM. Jensen's α tính bằng % (absolute), Treynor là tỷ số (relative).
Nếu portfolio chưa diversify tốt: unsystematic risk cao → σ cao nhưng β bình thường → Sharpe thấp nhưng Treynor cao. → Dấu hiệu chưa diversify.
Portfolio là toàn bộ tài sản → Sharpe/M². Portfolio chỉ là 1 phần trong danh mục lớn hơn → Treynor/Jensen's α.
Indifference Curve
📐 Định nghĩa
Indifference Curve (IC) là tập hợp các kết hợp risk–return mà nhà đầu tư bàng quan (indifferent) — tức là tất cả các điểm trên cùng 1 đường đều mang lại mức utility (thoả dụng) như nhau.
U = utility | A = risk aversion coefficient | σ² = variance
Giữ U cố định và giải ngược: E(R) = U + ½ × A × σ² → đường cong lồi đi lên trên đồ thị σ – E(R).
🎛️ Tương tác — Thay đổi độ risk aversion (A)
Điểm tiếp tuyến giữa IC cao nhất và CAL/CML = Optimal Portfolio của nhà đầu tư đó.
Optimal weight vào Market: w* = (E(RM) − Rf) / (A × σM²) = —
💡 Điểm quan trọng
Slope của IC = mức return "đền bù" mà nhà đầu tư đòi thêm cho mỗi đơn vị risk. Slope càng dốc → càng risk-averse.
Có vô số IC song song. IC càng nằm lên phía trên-trái (return cao hơn, risk thấp hơn) → utility càng lớn.
Vì mỗi điểm trong không gian σ–E(R) chỉ tương ứng với 1 mức utility. Cắt nhau → mâu thuẫn utility.
Do risk aversion tăng dần: khi σ tăng, đòi return đền bù tăng nhanh hơn (diminishing marginal utility).
🗂️ Phân loại nhà đầu tư theo A
| Loại nhà đầu tư | Risk Aversion (A) | Dạng IC | Optimal allocation |
|---|---|---|---|
| Risk Averse (điển hình CFA) | A > 0 (thường 2–6) | Đường cong lồi đi lên, dốc dần | Kết hợp Rf + Market; A lớn → nhiều Rf hơn |
| Risk Neutral | A = 0 | Đường thẳng nằm ngang | Chỉ quan tâm E(R), bỏ qua σ |
| Risk Seeker | A < 0 | Đường cong lõm đi xuống | Thích rủi ro cao, có thể vay để đầu tư |
🔗 Ứng dụng: Optimal Portfolio Choice
Nhà đầu tư chọn điểm tiếp tuyến giữa IC cao nhất có thể đạt được và CAL/CML:
Đường phân bổ vốn (từ Rf, tiếp tuyến với Efficient Frontier tại Market Portfolio M).
Phụ thuộc vào A (risk aversion). Mỗi nhà đầu tư có 1 họ IC riêng.
Điểm mà IC cao nhất chạm CAL/CML = Optimal Portfolio cho nhà đầu tư đó.
Mọi nhà đầu tư đều chọn kết hợp giữa Rf và M. Chỉ khác ở tỷ trọng: A cao → nhiều Rf, A thấp → nhiều M (thậm chí vay để mua thêm M).
So sánh Tổng hợp
📊 Bảng so sánh
| Tiêu chí | CAL | CML | SML | SCL | EF |
|---|---|---|---|---|---|
| Trục X | σ (total risk) | σ (total risk) | β (systematic risk) | RM − Rf | σ (total risk) |
| Trục Y | E(R) | E(R) | E(R) | Ri − Rf | E(R) |
| Dạng | Đường thẳng | Đường thẳng | Đường thẳng | Đường thẳng (regression) | Đường cong lồi |
| Slope | Sharpe Ratio của P | Sharpe Ratio của M (cao nhất) | Market Risk Premium [E(RM)−Rf] | Beta (β) | N/A (đường cong) |
| Y-Intercept | Rf | Rf | Rf | Alpha (α) | N/A |
| Áp dụng cho | Rf + bất kỳ portfolio P nào | Rf + Market Portfolio | Mọi tài sản (cả riêng lẻ) | Một chứng khoán cụ thể | Chỉ risky portfolios |
| Mô hình | Portfolio Theory | Portfolio Theory + CAPM | CAPM | Market Model (regression) | Markowitz (MPT) |
| Số lượng | Vô số (mỗi P → 1 CAL) | Duy nhất 1 | Duy nhất 1 | Mỗi CK → 1 SCL | Duy nhất 1 |
🔗 Mối liên hệ quan trọng
Khi danh mục rủi ro P chính là Market Portfolio M → CAL trở thành CML. CML là CAL có Sharpe Ratio cao nhất.
CML là đường thẳng từ Rf tiếp tuyến với Efficient Frontier. Điểm tiếp tuyến = Market Portfolio. Các danh mục trên CML dominate các danh mục trên EF.
CML dùng total risk (σ), SML dùng systematic risk (β). SML "phổ quát" hơn vì áp dụng cho mọi tài sản, CML chỉ dùng cho efficient portfolios.
Slope của SCL (từ regression) cho ta giá trị β. Giá trị β này được sử dụng trong SML/CAPM để tính required return.